Question

6．一个袋子中有k个红球，4个绿球，2个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从中一次随机取出2个球，每取得1个红球记1分、取得1个绿球记2分、取得1个黄球记5分，用随机变量X表示取到2个球的总得分，已知总得分是2分的概率为$\frac{1}{12}$．
（Ⅰ）求袋子中红球的个数；
（Ⅱ）求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当取到的2个球都是红球时，总得分是2分，从而$P（X=2）=\frac{C_k^2}{{C_{k+6}^2}}=\frac{1}{12}$，由此能求出袋子中有3个红球．
（Ⅱ）依题意，X的所有可能取值为2，3，4，6，7，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 （本题13分）
解：（Ⅰ）当取到的2个球都是红球时，总得分是2分，
即$P（X=2）=\frac{C_k^2}{{C_{k+6}^2}}=\frac{1}{12}$，…（2 分）
化简得11k²-23k-30=0，即（k-3）（11k+10）=0，…（3 分）
解得k=3或$k=-\frac{10}{11}$（舍去）．
故袋子中有3个红球．…（4 分）
（Ⅱ）依题意，X的所有可能取值为2，3，4，6，7，10．…（5 分）
$P（X=2）=\frac{1}{12}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^1C_4^1}{C_9^2}=\frac{3×4}{36}=\frac{1}{3}$，
$P（X=4）=\frac{C_4^2}{C_9^2}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$，
$P（X=6）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{3×2}{36}=\frac{1}{6}$，
$P（X=7）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_9^2}=\frac{4×2}{36}=\frac{2}{9}$，
$P（X=10）=\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{1}{36}$．…（10分）
∴X的分布列为：

X	2	3	4	6	7	10
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{36}$

…（11分）
$E（X）=2×\frac{1}{12}+3×\frac{1}{3}+4×\frac{1}{6}+6×\frac{1}{6}+7×\frac{2}{9}+10×\frac{1}{36}=\frac{14}{3}$．…（13分）

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．