Question

4．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2$\sqrt{2}$，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．
（Ⅰ）求证：PA∥GH；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；
（Ⅲ）求几何体M-BDC的体积．

Answer 1

分析 （I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM，根据面面平行的性质得出PA∥GH；
（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；
（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是V_M-BDC=V_C-BDM=$\frac{1}{3}{S}_{△BDM}•CM$

解答 （I）证明：连接MO．
∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，
∵点M为PC的中点
∴MO∥PA．
又MO?平面BDM，PA?平面BDM，
∴PA∥平面BDM．
又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA?平面APG，
∴PA∥GH．
（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．
∴DM=$\sqrt{3}$．
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=$\frac{1}{2}$BD=1，
又MO=$\frac{1}{2}PA$=$\sqrt{2}$，
∴DO²+MO²=DM²，∴BD⊥MO．
∵菱形ABCD中，BD⊥AC，
又MO?平面PAC，AC?平面PAC，MO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC．
又BD?平面BDM，
∴平面PAC⊥平面BDM．
（III）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，
∴AC=2AO=2$\sqrt{3}$．
在△PAC中，∵PA=2$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{3}$，PC=2，
∴PA²+PC²=AC²，
∴PA⊥PC，∵MO∥PA，
∴PC⊥MO，
又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC?平面PAC，
∴PC⊥平面BDM．
∴V_M-BDC=V_C-BDM=$\frac{1}{3}{S}_{△BDM}•CM$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×BD×MO×MC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×1$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定与性质，面面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．