Question

12．已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{{D_1}F}$=μ$\overrightarrow{{D_1}B}$，其中λ∈（0，1），μ∈（0，1），满足EF∥平面AA₁D₁D，则当三棱锥A-EFB₁的体积最大时，λ+μ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 连结AD₁，则由线面平行的性质得EF∥AD₁，于是$EF=\sqrt{2}（1-λ）$，AE=λ=μ．过A₁作A₁M⊥AD₁，则A₁M⊥平面ABD₁，AB⊥EF．A₁M=$\frac{A{A}_{1}•{A}_{1}{D}_{1}}{A{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．所以V${\;}_{A-EF{B}_{1}}$=V${\;}_{{B}_{1}-AEF}$=V${\;}_{{A}_{1}-AEF}$$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•{A}_{1}M$，使用基本不等式求出体积取得最大值时成立的条件，从而得到λ，μ的值．

解答 解：连结AD₁，∵EF∥平面AA₁D₁D，EF?平面ABD₁，平面ABD₁∩平面AA₁D₁D=AD₁
∴EF∥AD₁，∴$\frac{EF}{A{D}_{1}}=\frac{BE}{AB}=1-λ$，∴$EF=\sqrt{2}（1-λ）$，AE=λ=μ．
过A₁作A₁M⊥AD₁，
∵AB⊥平面AA₁D₁D，A₁M?平面AA₁D₁D，AD₁?平面AA₁D₁D，
∴AB⊥AD₁，AB⊥A₁M，
∴A₁M⊥平面ABD₁，AB⊥EF．
∵A₁M=$\frac{A{A}_{1}•{A}_{1}{D}_{1}}{A{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V${\;}_{A-EF{B}_{1}}$=V${\;}_{{B}_{1}-AEF}$=V${\;}_{{A}_{1}-AEF}$=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}•{A}_{1}M$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×λ×\sqrt{2}（1-λ）×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{6}$λ（1-λ）≤$\frac{1}{6}×（\frac{λ+1-λ}{2}）^{2}$=$\frac{1}{24}$．
当且仅当λ=1-λ即$λ=\frac{1}{2}$时取等号，∴λ+μ=1．
故选D

点评 本题考查了正方体的结构特征，线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．