Question

1．已知正项数列{a_n}，a₁=2，（a_n+1）a_n+2=1，a₂=a₆，则a₁₁+a₁₂=$\frac{1}{9}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 正项数列{a_n}，a₁=2，（a_n+1）a_n+2=1，a₂=a₆，对n取值，利用递推关系即可得出．

解答 解：∵正项数列{a_n}，a₁=2，（a_n+1）a_n+2=1，a₂=a₆，
∴3a₃=1，（a₂+1）a₄=1，（a₃+1）a₅=1，（a₄+1）a₆=1，（a₅+1）a₇=1，（a₆+1）a₈=1，（a₇+1）a₉=1，（a₈+1）a₁₀=1，（a₉+1）a₁₁=1，（a₁₀+1）a₁₂=1．
∴a₃=$\frac{1}{3}$，a₅=$\frac{3}{4}$，a₇=$\frac{4}{7}$，a₉=$\frac{7}{11}$，a₁₁=$\frac{11}{18}$，a₂=a₄=a₆=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=a₈=a₁₀=a₁₂，
则a₁₁+a₁₂=$\frac{11}{18}$+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{1}{9}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{9}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．