Question

17．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=2，AA₁=1，点M，N，P分别是棱AB，BC，CC₁的中点，则三棱锥C₁-MNP的体积为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 V${\;}_{{C}_{1}-MNP}$=V${\;}_{M-NP{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△NP{C}_{1}}•MB$．

解答 解：∵M，N，P分别是棱AB，BC，CC₁的中点，
∴S${\;}_{△NP{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}C{C}_{1}×\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$．
∵AB⊥平面BB₁C₁C，
∴V${\;}_{{C}_{1}-MNP}$=V${\;}_{M-NP{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△NP{C}_{1}}•MB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×\frac{3}{2}$=$\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了长方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基础题．