Question

19．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各个顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，CC₁⊥平面ABC．若球O的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，故而球心位于侧面BCC₁B₁的中心，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．

解答 解：∵AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$
∴AB⊥AC，
∵CC₁⊥平面ABC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于球O，
∴O为矩形BCC₁B₁的中心，
设球O半径为r，则4πr²=3π，∴r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即OC=r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱柱的高h=2$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=1．
∴三棱柱的体积V=S_△ABC•h=$\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{2}$．
故选C．

点评 本题考查了棱柱与外接球的关系，棱柱的体积计算，属于中档题．