Question

11．已知首项为$\frac{1}{2}$，公比不等于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃、S₂、S₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=n|a_n|，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）易知2S₂=S₃+S₄，从而可得2a₃+a₄=0，从而可得{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，-2为公比的等比数列；从而求得；
（2）化简b_n=n|a_n|=n•2^n-2，从而利用错位相减法求其和．

解答 解：（1）∵S₃、S₂、S₄成等差数列，
∴2S₂=S₃+S₄，
∴2a₃+a₄=0，
∴$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=-2，又首项为$\frac{1}{2}$，
故{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，-2为公比的等比数列，
故a_n=$\frac{1}{2}$•（-2）^n-1=-（-2）^n-2；
（2）b_n=n|a_n|=n•2^n-2，
T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•1+3•2+…+n•2^n-2，
2T_n=1•1+2•2+3•4+…+n•2^n-1，
故T_n=-$\frac{1}{2}$-1-2-4-…-2^n-2+n•2^n-1
=n•2^n-1-$\frac{\frac{1}{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=（n-1）2^n-1+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了错位相减法的应用及转化思想的应用．