Question

6．已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=CD=1，将梯形ABCD沿对角线AC折叠成三棱锥D-ABC，当二面角D-AC-B是直二面角时，三棱锥D-ABC的外接球的表面积为4π．

Answer 1

分析 画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．

解答 解：如图：AB=2，AD=1，CD=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，
∵平面DCA⊥平面ACB，DE⊥AC
∴DE⊥平面ACB，
∵DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OD=1，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=1，就是外接球的半径为1，
此时三棱锥外接球的表面积为4π•1²=4π．
故答案为：4π．

点评 本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．