Question

15．已知θ∈（$\frac{π}{2}$，2π），且2cos²（$\frac{θ}{2}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$cosθ+1，则函数f（x）=2sin（x+θ）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值为1．

Answer 1

分析 由题意和三角函数公式易得θ，再由三角函数区间的最值可得．

解答 解：∵2cos²（$\frac{θ}{2}$-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$cosθ+1，
∴2cos²（$\frac{θ}{2}$-$\frac{π}{4}$）-1=$\sqrt{3}$cosθ，
∴cos（θ-$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cosθ，
∴sinθ=$\sqrt{3}$cosθ，故tanθ=$\sqrt{3}$，
由θ∈（$\frac{π}{2}$，2π）可得θ=$\frac{4π}{3}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{4π}{3}$）=-2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-2≤-2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴函数的最大值为1
故答案为：1

点评 本题考查正弦函数的图象和性质，求出θ是解决问题的关键，属基础题．