Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（mcosωx-msinωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（-cosωx-sinωx，2ncosωx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+$\frac{n}{2}$（x∈R）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，1）对称，且ω∈（1，2）．
（I）若m=1，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≤f（$\frac{π}{4}$）对一切实数恒成立，求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （I）通过平面向量数量积的运算即倍角公式、辅助角公式化简可知f（x）=$\sqrt{4+{m}^{2}}$sin（2ωx-φ）+1，利用m=1及三角函数的有界性即得结论；
（Ⅱ）通过f（x）≤f（$\frac{π}{4}$）对一切实数恒成立可知，当x=$\frac{π}{4}$时g（x）=sin（2ωx-φ）取最大值1，利用当x=$\frac{π}{12}$时g（x）=sin（2ωx-φ）取值为0，可知ω=6（k±$\frac{1}{4}$）（k为整数），进而可知确定函数f（x）的周期，通过求出一个单调区间，利用周期性可得所有的单调递增区间．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（mcosωx-msinωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（-cosωx-sinωx，2ncosωx），
∴$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=（mcosωx-msinωx）（-cosωx-sinωx）+（sinωx）（2ncosωx）
=-m（cosωx-sinωx）（cosωx+sinωx）+nsin2ωx
=-mcos2ωx+nsin2ωx
=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$sin（2ωx-φ），
又∵函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+$\frac{n}{2}$（x∈R）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，1）对称，
∴当x=$\frac{π}{12}$时sin（2ωx-φ）=0，
∴$\frac{n}{2}$=1，即n=2，
∴f（x）=$\sqrt{4+{m}^{2}}$sin（2ωx-φ）+1．
（I）当m=1时，f（x）=$\sqrt{5}$sin（2ωx-φ）+1，
∵-1≤sin（2ωx-φ）≤1，
∴函数f（x）的最小值为1-$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）∵f（x）≤f（$\frac{π}{4}$）对一切实数恒成立，
∴当x=$\frac{π}{4}$时，g（x）=sin（2ωx-φ）取最大值1，
又∵函数f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，1）对称，
∴当x=$\frac{π}{12}$时，g（x）=sin（2ωx-φ）取值为0，
∴$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{12}$=（k±$\frac{1}{4}$）•$\frac{2π}{2ω}$，即ω=6（k±$\frac{1}{4}$）（k为整数），
又∵ω∈（1，2），
∴ω=$\frac{3}{2}$，即函数f（x）是周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2π}{3}$的周期函数，
∴y=f（x）的一个单调递增区间为：（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$），
∴y=f（x）的单调递增区间为：（-$\frac{π}{12}$+$\frac{2kπ}{3}$，$\frac{π}{4}$+$\frac{2kπ}{3}$），k∈Z．

点评 本题以平面向量为载体，考查三角函数的性质，涉及三角函数的倍角公式及辅助角公式等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．