Question

11．已知数列{c_n}的通项公式是c_n=a_nb_n，前n项和为T_n，其中{a_n}为首项a₁=1的等差数列，且a_n＞0，数列{b_n}为等比数列，若T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）是否存在p，q∈N^*，使得$\frac{1}{2}$（a_p+1）²-b_q=2016成立，若存在，求出所有满足条件的p，q，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过在T_n=（2n-3）•2ⁿ+3中分别令n=1、2、3，可得数列{c_n}的前三项的值，利用公差和公比分别表示，计算可知d=q=2，进而计算可得结论；
（2）通过假设存在满足条件的p、q∈N^*，代入化简可知（p-$2\frac{q-2}{2}$）（p+$2\frac{q-2}{2}$）=1008，通过分析可知$2\frac{q-2}{2}$只能取1，2，2²，…，2⁹，进而筛选可确定p、q的值．

解答 解：（1）∵T_n=（2n-3）•2ⁿ+3，
∴T₁=a₁b₁=1，a₂b₂=T₂-T₁=6，a₃b₃=T₃-T₂=20，
∴（1+d）q=6，（1+2d）q²=20，
整理得：$\frac{36}{（1+d）^{2}}$=q²=$\frac{20}{1+2d}$，
解得：d=2或d=-$\frac{2}{5}$（舍），
从而q=$\frac{6}{1+2}$=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=1•2^n-1=2^n-1；
（2）结论：存在p=32、q=6，使得$\frac{1}{2}$（a_p+1）²-b_q=2016成立．
理由如下：
假设存在p，q∈N^*，使得$\frac{1}{2}$（a_p+1）²-b_q=2016成立，
则$\frac{1}{2}$（2p-1+1）²-2^q-1=2016，即2p²-2^q-1=2016，
∴p²-2^q-2=1008，即（p-$2\frac{q-2}{2}$）（p+$2\frac{q-2}{2}$）=1008，
又∵p，q∈N^*，
∴$2\frac{q-2}{2}$只能取1，2，2²，…，2⁹，
∴2^q-2只能取1，4，4²，…，4⁹，
又∵p²=2^q-2+4²×63，
∴只有4²+4²×63为平方数，
此时，q=6，p=32．

点评 本题考查数列的通项，考查数列的递推式，注意解题方法的积累，属于中档题．