Question

19．在平面直角坐标系中，已知动点M到两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离之和为2$\sqrt{2}$，过点F₁作直线与M的轨迹交于A，B两点．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）求△ABF₂的周长．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义即可求动点M的轨迹方程；
（2）根据椭圆的定义将三角形的周长转化为∴|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，即可求△ABF₂的周长．

解答 解：（1）∵动点M到两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离之和为2$\sqrt{2}$，
∴|MF₁|+|MF₂|=2$\sqrt{2}$＞|F₁F₂|=2，
则动点M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆；
则2a=2$\sqrt{2}$，c=1，
即a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=2-1-1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）∵A，B都在椭圆上，
∴|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，
则△ABF₂的周长l=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查点的轨迹的判断，以及三角形周长的计算，根据椭圆的定义是解决本题的关键．