Question

1．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，体对角线AC₁与正方体的内切球面相交于E，F，且E点靠近A点，若正方体的边长为1，则DE与CF所成角的余弦值为$\frac{1+2\sqrt{3}}{11}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DE与CF所成角的余弦值．

解答 解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
OE=OF=$\frac{1}{2}$，OA=OC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
O（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），A（1，0，0），C₁（0，1，1），D（0，0，0），
$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{O{C}_{1}}$=（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{\sqrt{3}}\overrightarrow{OA}$=（$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，-$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，-$\frac{1}{2\sqrt{3}}$），E（$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$），
$\overrightarrow{OF}=\frac{1}{\sqrt{3}}\overrightarrow{O{C}_{1}}$=（-$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2\sqrt{3}}$），F（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}$），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}+$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2\sqrt{3}}$），$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}$，$\frac{1}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}$），
设DE与CF所成角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}}{\sqrt{1-\frac{1}{2\sqrt{3}}}•\sqrt{1-\frac{1}{2\sqrt{3}}}}$=$\frac{1+2\sqrt{3}}{11}$．
∴DE与CF所成角的余弦值为$\frac{1+2\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．