Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a∈N^*）的两个焦点为F₁，F₂，P为该双曲线上一点，满足|F₁F₂|²=|PF₁|•|PF₂|，P到坐标原点O的距离为d，且5＜d＜7，则a²=4．

Answer 1

分析 求得双曲线的b，c，设P为右支上一点，|PF₁|=m，|PF₂|=n，运用双曲线的定义，结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得a的正整数解．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的b=2，c²=a²+4，
设P为右支上一点，|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由双曲线的定义可得m-n=2a，
由题意可得4c²=mn，
m²+n²=2c²+2d²，
可得（m-n）²+2mn=4a²+8c²=2c²+2d²
又d²∈（25，49），
即25＜5a²+12＜49，
由a为正整数，可得a=2，
故答案为：4．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．