Question

2．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax-a）的值域为R，且f（x）在（-2，1-$\sqrt{2}$）上为增函数．则a的取值范围为[0，1]．

Answer 1

分析 由题意可得，函数y=x²-2ax-a能够取遍所有的正数，由△=4a²+4a≥0，求得a的范围 ①．再根据函数y=x²-2ax-a在（-2，1$-\sqrt{2}$）上是减函数且为正值，得出不等式组求解即可．

解答 解：由函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax-a）的值域为R，可得函数y=x²-2ax-a能够取遍所有的正数，
故有△=4a²+4a≥0，求得：a≤-1，或a≥0 ①．
再根据f（x）在（-2，1-$\sqrt{2}$）上是增函数，可得函数y=x²-2ax-a在（-2，1-$\sqrt{2}$）上是减函数且为正值，
故a≥1-$\sqrt{2}$，且当x=1-$\sqrt{2}$时y≥0．
即 a≥1$-\sqrt{2}$，且3$-2\sqrt{2}$-a（3-2$\sqrt{2}$）≥0．
求得：1$-\sqrt{2}$≤a≤1②．
结合①②求得0≤a≤1，
故答案为：[0，1]

点评 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题