Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n+a_n-3=0，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{2}{log_2}（{1-{S_{n+1}}}）$，求T_n=$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求使T_n≥$\frac{504}{1009}$成立的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过3S_n+a_n-3=0与3S_n-1+a_n-1-3=0作差，进而可知数列{a_n}是首项为$\frac{3}{4}$、公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，利用公式计算即得结论；
（2）通过（1）及3S_n+a_n-3=0计算可知b_n=-n-1，裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵3S_n+a_n-3=0，
∴当n=1时，3S₁+a₁-3=0，即a₁=$\frac{3}{4}$，
又∵当n≥2时，3S_n-1+a_n-1-3=0，
∴3a_n+a_n-a_n-1=0，即a_n=$\frac{1}{4}$a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为$\frac{3}{4}$、公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，
故其通项公式a_n=$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=3•$\frac{1}{{4}^{n}}$；
（2）由（1）可知，1-S_n+1=$\frac{1}{3}$a_n+1=$\frac{1}{{4}^{n+1}}$，
∴b_n=$\frac{1}{2}{log_2}（{1-{S_{n+1}}}）$=-n-1，
∵$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{{{b_1}{b_2}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_3}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$，
由T_n≥$\frac{504}{1009}$可知，$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$≥$\frac{504}{1009}$，
化简得：$\frac{1}{n+2}$≤$\frac{1}{2018}$，解得：n≥2016，
故满足条件的n的最小值为2016．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．