Question

7．如图所示，已知在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PD，PC的中点，M为CD上一点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PAD；
（2）求三棱锥M-EFB的体积．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD，而CD∥EF，故EF⊥平面PAD，于是平面BEF⊥平面PAD；
（2）取AD中点N，连结PN，BN，过N作NQ⊥PD．则可证BN∥平面PCD，NQ⊥平面PCD，于是V_M-EFB=V_B-EFM=V_N-EFM=$\frac{1}{3}{S}_{△EFM}•NQ$．

解答 （1）证明：∵BC∥AD，BC⊥CD，∴CD⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD．
∵E，F分别是PD，PC的中点，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面PAD，又EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAD．
（2）解：取AD中点N，连结PN，BN，过N作NQ⊥PD．
∵△PAD是边长为4的正三角形，
∴ND=$\frac{1}{2}AD=2$，PN=2$\sqrt{3}$，PN⊥AD
∴NQ=$\frac{PN•ND}{PD}$=$\sqrt{3}$．
∵BC$\stackrel{∥}{=}$ND，BC⊥CD，
∴四边形BCDN是矩形，
∴NB∥CD，即NB∥平面PCD．
∴V_M-EFB=V_B-EFM=V_N-EFM．
由（1）知CD⊥平面PAD，NQ?平面PAD，
∴NQ⊥CD，又PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴NQ⊥平面PCD．
∵EF是△PCD的中位线，
∴S_△EFM=$\frac{1}{4}{S}_{△PCD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×4×4$=2．
∴V_M-EFB=V_N-EFM=$\frac{1}{3}{S}_{△EFM}•NQ$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．