Question

10．如图，在三棱锥P-ABC中，面PAC⊥面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，M，N为线段PC上的点，若MN=$\sqrt{2}$，则三棱锥A-MNB的体积为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 取AC中点O，连接BO，可得BO⊥AC，再由面面垂直的性质可得BO⊥面PAC，然后利用等积法把三棱锥A-MNB的体积转化为三棱锥B-AMN得体积求解．

解答 解：如图，取AC中点O，连接BO，
∵AB=BC，BO⊥AC，
∵面PAC⊥面ABC，
∴由面面垂直的性质可得，BO⊥面PAC，
∵AB=BC=PA=PC=2，AC=AC，
∴△ABC≌△APC，
又AB⊥BC，
∴AP⊥PC，即△APC为直角三角形，
在Rt△ABC中，由AB=BC=2，得AC=$2\sqrt{2}$，
∴OB=$\sqrt{2}$，
则V_A-MNB=V_B-AMN，
又MN=$\sqrt{2}$，
∴V_A-MNB=V_B-AMN=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面的体积，是中档题．