Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=3，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求三棱锥P-DEF的体积．

Answer 1

分析 （I）取PD的中点为M，连结ME，MF，则可证四边形BEMF是平行四边形，得出BE∥MF，从而证明结论；
（II）V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-CDF=$\frac{1}{3}{S}_{△CDF}•\frac{1}{2}PA$．

解答 证明：（I）取PD的中点为M，连结ME，MF，
∵E是PC的中点，∴EM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．
又F是AB的中点，且ABCD是菱形，
∴BF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD．
∴BF$\stackrel{∥}{=}$ME．
∴四边形MEBF是平行四边形，
∴BE∥MF．
又BE?平面PDF，MF?平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（II）E是PC的中点
点P到平面EFD的距离与点C到平面EFD的距离相等，
故V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-CDF，
又S_△CDF=$\frac{1}{2}{S}_{菱形ABCD}$=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，E到平面DFC的距离$h=\frac{1}{2}PA=\frac{3}{2}$，
∴V_P-DEF=V_E-CDF=$\frac{1}{3}{S}_{△CDF}•h$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，将棱锥进行适当转化找到与之体积相等的棱锥是关键．