Question

14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左右焦点分别为F₁、F₂，点P为双曲线上一点，△F₁PF₂的内切圆圆心为M，若S${\;}_{△{F}_{1}PM}$=S${\;}_{△{F}_{2}PM}$+8，那么S${\;}_{△{F}_{1}M{F}_{2}}$（　　）

• A． 2$\sqrt{7}$
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，设△F₁PF₂的内切圆的半径为r，运用三角形的面积公式，结合双曲线的定义，求得r=2，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=4，b=3，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，
设△F₁PF₂的内切圆的半径为r，
由S${\;}_{△{F}_{1}PM}$=S${\;}_{△{F}_{2}PM}$+8，
可得$\frac{1}{2}$r|PF₁|=$\frac{1}{2}$r|PF₂|+8，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
可得$\frac{1}{2}$r（|PF₁|-|PF₂|）=8，
即有4r=8，解得r=2，
则S${\;}_{△{F}_{1}M{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$r|F₁F₂|=2c=10．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义和方程的运用，注意运用定义法解题，同时考查三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．