Question

16．如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是平面ABCD上一动点，则直线BE与直线B₁D所成角的余弦值的取值范围是[0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与直线B₁D所成角的余弦值的取值范围．

解答 解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，E（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，
则D（0，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），
$\overrightarrow{BE}$=（x-1，y-1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-1，-1，-1），
设直线BE与直线B₁D所成角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{{B}_{1}D}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{{B}_{1}D}|}$=$\frac{（1-x）+（1-y）}{\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}•\sqrt{3}}$，
∵0≤x≤1，0≤y≤1，
∴x=y=0时，（cosθ）_max=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
当BE⊥BD时，（cosx）_min=0．
∴直线BE与直线B₁D所成角的余弦值的取值范围是[0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．

点评 本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．