Question

3．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．
（I）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与圆C相交A、B两点．试判断直线AB的斜率是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）求出直线x-y+1=0与x轴的交点即为圆心C坐标，求出点C到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可．
（Ⅱ）求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可得出结论．

解答 解：（I）对于直线x-y+1=0，令y=0，得到x=-1，即圆心C（-1，0），
∵圆心C（-1，0）到直线x+y+3=0的距离d=$\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圆C半径r=$\sqrt{2}$，
则圆C方程为（x+1）²+y²=2；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设PA的方程为y=kx+1，
代入（x+1）²+y²=2化简得：（k²+1）x²+（2+2k）x=0，
∴x₁=-$\frac{2+2k}{{k}^{2}+1}$，
用-k代替x₁，y₁中的k，得x₂=-$\frac{2-2k}{{k}^{2}+1}$，
∴直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=1为定值．

点评 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：一次函数与x轴的交点，点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．