Question

15．已知纸片Rt△ABC中，AB=AC=1，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）使AD垂直于桌面，且二面角B-AD-C为直二面角．
（1）求V_D-ABC；
（2）求四面体D-ABC的表面积．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直及直二面角可得D为BC中点，且BD⊥CD，利用直角三角形的性质求出AD，BD，CD，得出棱锥的底面积和高；
（2）四面体的三个面为到腰直角三角形，一个面为正三角形，分别求出每个面的面积即可．

解答 解：（1）∵AD⊥平面BCD，BD?平面BCD，CD?平面BCD，
∴AD⊥BD，AD⊥CD，
∵Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴D是BC的中点，∴BD=CD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠BDC为直二面角B-AD-C的平面角，即BD⊥CD．
∴V_D-ABC=V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{24}$．
（2）∵AD，BD，CD两两垂直，且AD=BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△ABD=S_△BCD=S_△ACD=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$．
AB=BC=AC=1．
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴四面体D-ABC的表面积S=S_△ABD+S_△BCD+S_△ACD+S_△ABC=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了棱锥的体积与表面积计算，属于基础题．