Question

3．正三角形ABC的边长为1，向量$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且0≤x，y≤1，$\frac{1}{2}$≤x+y≤1，则动点P的轨迹所形成的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．

Answer 1

分析 分别以边AB，AC所在的直线为x，y轴，建立坐标系，从而可以得出P点坐标为（x，y），然后过B，C分别作AC，AB的平行线并交于点D，这样根据条件0≤x，y≤1，$\frac{1}{2}$≤x+y≤1，便可找到点P所在的平面区域，根据图形便可求出该平面区域的面积，即得出动点P所形成的平面区域的面积．

解答 解：分别以边AB，AC所在的直线为x轴，y轴建立如图所示坐标系：
以向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$为一组基底，则P点坐标为P（x，y）；
分别过B，C作AC，AB的平行线并交于点D，
∵0≤x，y≤1；
∴点P所在的平面区域为平行四边形ACDDB内部；
又$\frac{1}{2}$≤x+y≤1
∴P点所在区域在图中阴影部分，
∴动点P所形成平面区域面积为$\frac{1}{2}•1•1•sin60°-\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•sin60°$=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{16}$．

点评 考查通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量坐标的定义，能找到不等式所表示的平面区域，以及三角形的面积公式．