Question

6．已知A，B是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2n}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1（n＞0）的左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，记直线OM，PB的斜率分别为k₁，k₂，则k₁•k₂=-1．

Answer 1

分析 由题意可得A（-$\sqrt{2n}$，0），B（$\sqrt{2n}$，0），M（$\sqrt{2n}$，t），直线AM的方程为y=$\frac{t}{2\sqrt{2n}}$（x+$\sqrt{2n}$），代入椭圆方程，运用韦达定理可得P的坐标，再由直线的斜率公式，化简整理可得所求之积．

解答 解：由题意可得A（-$\sqrt{2n}$，0），B（$\sqrt{2n}$，0），M（$\sqrt{2n}$，t），
直线AM的方程为y=$\frac{t}{2\sqrt{2n}}$（x+$\sqrt{2n}$），
代入椭圆方程x²+2y²=2n，可得（1+$\frac{{t}^{2}}{4n}$）x²+$\frac{{t}^{2}}{\sqrt{2n}}$x+$\frac{{t}^{2}-4n}{2}$=0，
由-$\sqrt{2n}$•x_P=$\frac{2n（{t}^{2}-4n）}{{t}^{2}+4n}$，
解得x_P=$\frac{\sqrt{2n}（4n-{t}^{2}）}{4n+{t}^{2}}$，y_P=$\frac{4nt}{4n+{t}^{2}}$，
即有k₁k₂=$\frac{t}{\sqrt{2n}}$•$\frac{{y}_{P}}{{x}_{P}-\sqrt{2n}}$=$\frac{t}{\sqrt{2n}}$•$\frac{4nt}{-2\sqrt{2n}{t}^{2}}$
=$\frac{t}{\sqrt{2n}}$•$\frac{\sqrt{2n}}{-t}$=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式，化简整理的运算能力，属于中档题．