Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=3，S_n+1=3S_n+3（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，S_n=3S_n-1+3，两式相减，得：a_n+1=3a_n，即可求出；
（2）先求出数列b_n=$\frac{1}{2}•\frac{n}{3^n}$，n∈N^*，再由错位相减法即可求出{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）S_n+1=3S_n+3，当n≥2时，S_n=3S_n-1+3，两式相减，得：a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₁=3，代入S_n+1=3S_n+3得a₂=9，
∴${a_n}={3^n}$（n∈N⁺）…（6分）
（2）${b_n}=\frac{n}{{{a_{n+1}}-{a_n}}}$=$\frac{n}{{{3^{n+1}}-{3^n}}}$=$\frac{1}{2}•\frac{n}{3^n}$…（7分）
${T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…\frac{n}{3^n}）$$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}）$，
∴$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}）$         …（10分）
解得：${T_n}=\frac{3}{2}-\frac{n+6}{{4•{3^n}}}$…（12分）

点评 本题考查了等比数列的通项公式，以及错位相减法，属于中档题．