Question

10．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是直线x=a上一点，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$a，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设P（a，t）（t＞0），F₁（-c，0），F₂（c，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得t=b，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，运用勾股定理和三角形的面积公式计算，可得c²=$\frac{4}{3}$a²，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设P（a，t）（t＞0），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由PF₁⊥PF₂，可得$\frac{t}{a+c}$•$\frac{t}{a-c}$=-1，
即有t²=c²-a²=b²，
可得t=b，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由勾股定理可得m²+n²=4c²，
又m+n=2$\sqrt{2}$a，
即有2mn=（m+n）²-（m²+n²）=8a²-4c²，
由三角形的面积公式可得
$\frac{1}{2}$mn=$\frac{1}{2}$•2c•b，
可得2a²-c²=bc，
两边平方可得4a⁴-4a²c²+c⁴=c²（c²-a²），
化为c²=$\frac{4}{3}$a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用勾股定理和等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．