Question

7．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，过右焦点向其渐近线作垂线，与两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形AOB的面积是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c和渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得右焦点F到垂足A的距离为1，以及OA的长，运用正切函数的定义可得AB的长，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，
渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
右焦点F（2，0）到渐近线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x的距离为
|AF|=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}$=1，
可设|FA|=1，可得|OA|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|AF{|}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由∠AOB=60°，可得|AB|=$\sqrt{3}$tan60°=3，
则△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，以及运算能力，属于中档题．