Question

13．已知在直角梯形ABCD中，∠ADC=∠DAB=90°，△ADC与△ABC均为等腰直角三角形，且AD=1，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC，当三棱锥D-ABC的体积取得最大值时，其外接球的表面积为4π．

Answer 1

分析 画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．

解答 解：如图：AB=2，AD=1，CD=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，
当三棱锥体积最大时，平面DCA⊥平面ACB，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥平面ACB，
∵DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OD=1，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=1，就是外接球的半径为1，
此时三棱锥外接球的表面积为4π•1²=4π．
故答案为：4π．

点评 本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．