Question

13．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4在（3，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≥0
• B． a≥1
• C． a≤-3或a≥1
• D． -3≤a≤1

Answer 1

分析 根据题意，可将问题转化为导函数y′≥0在（3，+∞）上恒成立，即求y′_min≥0，运用二次函数的性质即可求得y′_min，从而得到关于a的不等关系，求解即可得到a的取值范围．

解答 解：∵y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4，
∴y′=x²-2ax-3a²，
∵函数y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4在（3，+∞）上是增函数，
∴y′=x²-2ax-3a²≥0在（3，+∞）上恒成立，
∵y′=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，
①对称轴为x=a=3，y′＜0，不成立；
②当a＞3，-4a²＞0，无解；
当a＜3，y′在（3，+∞）单调递增，
∴y′＞3²-2a×3-3a²=9-6a-3a²≥0，
∴-3≤a≤1，
∴实数a的取值范围是[-3，1]，
故选：D．

点评 本题考查了函数单调性的综合运用，函数的单调性对应着导数的正负，若已知函数的单调性，经常会将其转化成恒成立问题解决．属于中档题．