(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)已知为椭圆
上两动点,
分别为其左右焦点,直线
过点
,且不垂直于
轴,
的周长为
,且椭圆的短轴长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点为椭圆
的左端点,连接
并延长交直线
于点
.求证:直线
过定点.
(1);(2)证明详见解析.
解析试题分析:(1)结合图形及椭圆的定义先得到的周长为
,进而根据条件列出方程组
,从中求解即可得出
的值,进而可写出椭圆的方程;(2)由(1)确定
,进而设点
,设直线
,联立直线与椭圆的方程,解出点
,设直线
,可得
,进而根据
三点共线得出
,将点
的坐标代入并化简得到
,进而求出
点的坐标,
,然后写出直线
的方程并化简得到
,从该直线方程不难得到该直线恒通过定点
,问题得证.
(1)依题意有:的周长为
所以,则椭圆
的方程为
4分
(2)由椭圆方程可知,点
设直线,由
得
,从而
,
,即点
同理设直线,可得
7分
由三点共线可得
,即
,代入
两点坐标化简可得
9分
直线,可得点
,即
从而直线的方程为
化简得,即
,
从而直线过定点
12分.
考点:1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-
).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·
=0;
(3)求△F1MF2的面积.
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设椭圆(
)的左、右焦点为
,右顶点为
,上顶点为
.已知
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段
为直径的圆经过点
,经过原点
的直线
与该圆相切,求直线
的斜率.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左右顶点分别为
,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为曲线
:
上任一点(
点不同于
),直线
与直线
交于点
,
为线段
的中点,试判断直线
与曲线
的位置关系,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,椭圆的焦点在x轴上,左右顶点分别为
,上顶点为B,抛物线
分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,
与
相交于 直线
上一点P.
(1)求椭圆C及抛物线的方程;
(2)若动直线与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同的两点M,N,已知点
,求
的最小值。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心和C2的顶点都在坐标原点,过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ,B两点.
(1)如图所示,若,求直线l的方程;
(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上,直线l与椭圆C1有公共点,求椭圆C1的长轴长的最小值.
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已知椭圆的左右顶点分别为
,离心率
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为曲线
:
上任一点(
点不同于
),直线
与直线
交于点
,
为线段
的中点,试判断直线
与曲线
的位置关系,并证明你的结论.
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(2013•湖北)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m>n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D,记,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.
(1)当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,求λ的值;
(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2?并说明理由.
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