如图,椭圆的焦点在x轴上,左右顶点分别为
,上顶点为B,抛物线
分别以A,B为焦点,其顶点均为坐标原点O,
与
相交于 直线
上一点P.
(1)求椭圆C及抛物线的方程;
(2)若动直线与直线OP垂直,且与椭圆C交于不同的两点M,N,已知点
,求
的最小值。
(1)椭圆C:,抛物线C1:
抛物线C2:
;(2)
.
解析试题分析:(1)由题意可得A(a,0),B(0,),而抛物线C1,C2分别是以A、B为焦点,∴可求得C2的解析式:
,设C1的解析式为
,再由C1与C2的交点在直线y=
x上,
;(2)直线OP的斜率为
,所以直线
的斜率为
,设直线
方程为
,
设M()、N(
),将直线方程与椭圆方程联立,利用解析几何中处理直线与圆锥曲线中常用的“设而不求”思想,可以得到
,结合韦达定理,即可得到
的最值.
(1)由题意可得A(a,0),B(0,),故抛物线C1的方程可设为
,C2的方程为
1分
由 得
3分
∴椭圆C:,抛物线C1:
抛物线C2:
5分; (2)由(1)知,直线OP的斜率为
,所以直线
的斜率为
,设直线
方程为
由,整理得
设M()、N(
),则
7分
因为动直线与椭圆C交于不同两点,所以
解得 8分
,
∵,
∴ 11分
∵,所以当
时,
取得最小值,
其最小值等于 13分
考点:1、圆锥曲线解析式的求解;2、直线与椭圆相交综合题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,曲线由上半椭圆
和部分抛物线
连接而成,
的公共点为
,其中
的离心率为
.
(1)求的值;
(2)过点的直线
与
分别交于
(均异于点
),若
,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知P是圆上任意一点,点N的坐标为(2,0),线段NP的垂直平分线交直线MP于点Q,当点P在圆M上运动时,点Q的轨迹为C.
(1)求出轨迹C的方程,并讨论曲线C的形状;
(2)当时,在x轴上是否存在一定点E,使得对曲线C的任意一条过E的弦AB,
为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的焦点
到准线的距离为
.过点
作直线交抛物线
与
两点(
在第一象限内).
(1)若与焦点
重合,且
.求直线
的方程;
(2)设关于
轴的对称点为
.直线
交
轴于
. 且
.求点
到直线
的距离的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)已知为椭圆
上两动点,
分别为其左右焦点,直线
过点
,且不垂直于
轴,
的周长为
,且椭圆的短轴长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点为椭圆
的左端点,连接
并延长交直线
于点
.求证:直线
过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知点是椭圆
上任一点,点
到直线
的距离为
,到点
的距离为
,且
.直线
与椭圆
交于不同两点
、
(
,
都在
轴上方) ,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆:
的左顶点为
,直线
交椭圆
于
两点(
上
下),动点
和定点
都在椭圆
上.
(1)求椭圆方程及四边形的面积.
(2)若四边形为梯形,求点
的坐标.
(3)若为实数,
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(2013·上海高考)如图,已知双曲线C1:-y2=1,曲线C2:|y|=|x|+1.P是平面内一点.若存在过点P的直线与C1,C2都有共同点,则称P为“C1-C2型点”.
(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证).
(2)设直线y=kx与C2有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1-C2型点”.
(3)求证:圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”.
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