Question

18．如图所示，矩形ABCD中，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC和BD交于点G．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BFD；
（Ⅱ）求三棱锥C-BFG的体积．

Answer 1

分析 （1）连结FG，证明FG∥AE，然后证明AE∥平面BFD．
（2）利用V_C-BGF=V_G-BCF，求出S_△CFB．证明FG⊥平面BCF，求出FG，即可求解几何体的体积．

解答 （1）证明：由题意可得G是AC的中点，连结FG，
∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF．而BC=BE，∴F是EC的中点，…（2分）
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．…（5分）
（2）解：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF，又BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．…（8分）
∵AE∥FG．而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF．∵G是AC中点，F是CE中点，
∴FG∥AE且FG=$\frac{1}{2}$AE=1．∴Rt△BCE中，BF=$\frac{1}{2}$CE=CF=$\sqrt{2}$，…（10分）
∴S_△CFB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1．∴V_C-BGF=V_G-BCF=$\frac{1}{3}$•S_△CFB•FG=$\frac{1}{3}$×1×1=$\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，三角锥的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．