Question

（本小题满分14分）
已知函数.
(1)求在[0,1]上的极值；
(2)若对任意,不等式成立,求实数的取值范围；
(3)若关于的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数的取值范围.

Answer 1

(1)为函数在[0,1]上的极大值
(2)或
(3)

(1)求导，利用导数研究其单调区间和极值。导数等于零的点，若导数值满足左正右负那么此点处取极大值，若是左负右正，此点处取极小值。
（2）解本小题的关键是先去绝对值把不等式转化为或,然后再构造函数,,利用导数分别求h(x)的最大值，和g(x)的最小值即可。
解：（1），
令，得或（舍去）．当时， ,单调递增；
当时，单调递减．为函数在[0,1]上的极大值.  --4分
(2)由得
或,①    -------------6分
设,,
，
,
与都在上单调递增,要使不等式①成立,
当且仅当或,即或.  ---------------9分
(3)由.
令,则,
当时,,于是在上递增；
当时,,于是在上递减.
而,，    ---------------11分
即在[0,1]恰有两个不同实根等价于
，----------13分
．    --14分