Question

已知函数f(x)=loga

1-kx

x-1

(a＞1)是奇函数，
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并运用单调性的定义予以证明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=loga

1-kx

x-1

(a＞1)是奇函数，根据奇函数的定义，我们可构造一个关于k的方程，解方程即可得到答案．但由于对数要求真数部分大于0，故还要对k值进行判断，以去除增根．
（2）利用定义法（作差法），任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，确定f（x₁）-f（x₂）的符号，即可根据单调性的定义得到结论．

解答：解：（1）f（x）是奇函数，则f（-x）=-f（x）．
由f（-x）=-f（x）?

1+kx

-x-1

=

x-1

1-kx

?1-k²x²=1-x²?k²=1?k=1或k=-1．（2分）
当k=1时，f(x)=loga

1-x

x-1

=loga(-1)，这与题设矛盾，
当k=-1时，f(x)=loga

x+1

x-1

为奇函数，满足题设条件．（4分）
（2）在（1）的条件下，f(x)=loga

x+1

x-1

在（1，+∞）上是减函数，证明如下：
设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=loga

(x1+1)(x2-1)

(x1-1)(x2+1)

=loga

x1x2-x1+x2-1

x1x2-x2+x1-1

，（6分）
∵x₂＞x₁＞1∴x₁x₂-x₁+x₂-1＞x₁x₂-x₂+x₁-1＞0，
即

x1x2-x1+x2-1

x1x2-x2+x1-1

＞1，（7分）
又a＞1，∴f（x₁）-f（x₂）＞log_a1=0
即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．（8分）

点评：本题考查的知识点是奇函数、函数单调性的判断与证明，对数运算性质，是必须一难点的集中考查，熟练掌握函数单调性、奇偶性的定义及对数的运算性质是解答的关键．