Question

如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求异面直线EC与AB所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）应用面面垂直的性质定理，再由线面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；
（2）分别取BC、AC、AE的中点F、H、G，连结HF、HG、FG，应用中位线定理，即可得到∠GHF为异面直线EC与AB所成角或其补角，再由余弦定理，即可得到所求值．

解答： （1）证明：由正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，
面ABC∩面ACDE=AC，AC⊥BC，
则BC⊥面ACDE，
由AM?面ACDE，则AM⊥BC，
又正方形ACDE，则AM⊥EC，
则AM⊥平面EBC；
（2）解：分别取BC、AC、AE的中点F、H、G，连结HF、HG、FG，
则HG∥EC，HG=

1

2

EC，HF∥AB，HF=

1

2

AB，
即有∠GHF为异面直线EC与AB所成角或其补角，
令AC=1，则HF=

2

2

，GH=

2

2

，又在直角△GCF中CF=

1

2

，
GC=

1+ 1 4

=

5

2

，则GF=

6

2

，
则cos∠GHF=

1 2 + 1 2 - 3 2

2• 2 2 • 2 2

=-

1

2

．
故异面直线EC与AB所成角斜弦值为

1

2

．

点评：本题考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理及应用，考查异面直线所成角的求法，考查运算能力，属于中档题．