Question

18．设$\overrightarrow a$=（-1，1），$\overrightarrow b$=（x，3），$\overrightarrow c$=（5，y），$\overrightarrow d$=（8，6），且$\overrightarrow b$∥$\overrightarrow d$，（4$\overrightarrow a$+$\overrightarrow d$）⊥$\overrightarrow c$．
（1）求$\overrightarrow b$和$\overrightarrow c$；       
（2）求$\overrightarrow c$在$\overrightarrow a$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行，垂直与坐标的关系列出方程组解出x，y；
（2）求出cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞，利用投影公式计算．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow b∥\overrightarrow d$，∴6x-24=0，即x=4．
∵4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{d}$=（4，10），（4$\overrightarrow a$+$\overrightarrow d$）⊥$\overrightarrow c$．
∴（4$\overrightarrow a$+$\overrightarrow d$）•$\overrightarrow c$=20+10y=0．解得y=-2．
∴$\overrightarrow b$=（4，3），$\overrightarrow c$=（5，-2）．
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-5-2=-7，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{29}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-7}{\sqrt{2}•\sqrt{29}}$=-$\frac{7\sqrt{58}}{58}$，
∴$\overrightarrow c$在$\overrightarrow a$方向上的投影为$|{\overrightarrow c}|cos＜\overrightarrow a，\overrightarrow c＞=-\frac{{7\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于中档题．