Question

6．设a，b为正实数，且（a-b）²=$\frac{9}{ab}$，则当a+b取到最小值时，a=$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意a+b的最小值，可求（a+b）²的最小值，即有（a+b）²=$\frac{9}{ab}$+4ab，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件，解方程可得a的值．

解答 解：由（a-b）²=$\frac{9}{ab}$（a，b＞0），
可得（a-b）²+4ab=$\frac{9}{ab}$+4ab，
即为（a+b）²=$\frac{9}{ab}$+4ab≥2$\sqrt{4ab•\frac{9}{ab}}$=12，
当且仅当4ab=$\frac{9}{ab}$，即ab=$\frac{3}{2}$，取得等号．
且（a-b）²=$\frac{9}{ab}$，解得a=$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
则当a+b取到最小值时，a=$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\sqrt{3}$±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意化简变形，考查运算能力，属于中档题．