Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1，化简已知条件，转化推出$\frac{1}{Sn}$-$\frac{1}{Sn-1}$=2．即可证明数列是等差数列；
（2）利用（1）求出数列的和，通过已知条件转化求解即可．

解答 证明：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
又a_n+2S_n•S_n-1=0，所以S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0．
若S_n=0，则a₁=S₁=0与a₁=$\frac{1}{2}$矛盾．
故S_n≠0，所以$\frac{1}{Sn}$-$\frac{1}{Sn-1}$=2．
又$\frac{1}{S1}$=2，所以{$\frac{1}{Sn}$}是首项为2，公差为2的等差数列．-----（6分）
（2）解：由（1）得$\frac{1}{Sn}$=2+（n-1）•2=2n，
故S_n=$\frac{1}{2n}$（n∈N₊）．
当n≥2时，a_n=-2S_n•S_n-1=-2•$\frac{1}{2n}$•$\frac{1}{2（n-1）}$
=-$\frac{1}{2n（n-1）}$；
当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$．
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{-\frac{1}{2n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．----（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．