Question

19．若正数t满足a（2e-t）lnt=1（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（-∞，0）$∪[\frac{1}{e}，+∞）$．

Answer 1

分析 由a（2e-t）lnt=1⇒h（x）=（2e-t）lnt与y=$\frac{1}{a}$有交点，求出a 的范围即可．

解答 解：正数t满足a（2e-t）lnt=1（e为自然对数的底数）⇒$\frac{1}{a}$=（2e-t）lnt，
设h（x）=（2e-t）lnt，h′（x）=$\frac{2e}{t}-1-lnt$，
h′（x）=$\frac{2e}{t}-1-lnt$=0⇒x=e，∴x∈（0，e）时h（x）递增，x∈（e，+∞）时h（x）递减，$\frac{1}{a}$≤h（x）=（e）=e⇒a≥$\frac{1}{e}$或a＜0．
故答案为：（-∞，0）$∪[\frac{1}{e}，+∞）$

点评 本题考查了函数与方程的转化思想，属于中档题．