Question

7．已知等差数列{a_n}满足：a₄=9，a₅+a₇=26，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）设{b_n-a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式列方程组，解方程组可得首项和公差，进而得到所求通项公式和求和公式；
（2）求得b_n=a_n+2^n-1，运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₅+a₇=26，a₄=9，
可得2a₁+10d=26，a₁+3d=9，
解得a₁=3，d=2，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1； S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+2n．
（2）由（1）知a_n=2n+1，
{b_n-a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
可得b_n-a_n=2^n-1，
即b_n=a_n+2^n-1，
则前n项和T_n=S_n+（1+2+4+…+2^n-1）
=n²+2n+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=n²+2n+2ⁿ-1．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．