Question

已知函数.
（1）试判断函数的单调性；  
（2）设，求在上的最大值；
（3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．

Answer 1

（1）函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）在上的最大值为；
(3) 证明过程详见试题解析.

解析试题分析：（1）先对函数求导，令导函数为0，即可求得函数在上单调递增，在上单调递减． （2）结合函数的单调性，分时，时，三种情况进行讨论，即可求在上的最大值；(3) 把证明过程转化为恒成立问题即可.
试题解析：（1）解：（1）函数的定义域是．由已知．
令，得．
因为当时，；当时，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可知当，即时，在上单调递增，所以．
当时，在上单调递减，所以．
当，即时，．
综上所述，
（3）由（1）知当时．所以在时恒有，即，当且仅当时等号成立．因此对任意恒有．因为，，所以，即．因此对任意，不等式．
考点：导函数的应用、最值问题、恒成立问题.