Question

18．已知函数f（x）=ax²-2x+1+lnx
（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f′（x）有零点，求a的取值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，x＞0利用f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故△=0．由此可得；
（Ⅱ）先由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，再设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，根据函数的单调性证出结论即可．

解答 解 （Ⅰ）首先，x＞0，f′（x）=2ax-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
∵f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，
∴a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0，
解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
则x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2a}$＞1，
∴f（x₂）＜f（1）=a-2+1＜-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了导数的应用，解决本题时要注意题目中所应用的函数的思想，要使的函数无极值点，表明该零点左右f′（x）同号即可，这种思想经常用到．