Question

16．若实数x，y满足$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=x，则x²+y²有最大值16．

Answer 1

分析 将条件配方，令x-2=2cosα，y=sinα，0≤α＜2π，代入所求式子，化简整理，由余弦函数的值域，计算即可得到所求最大值．

解答 解：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=x，即为x²-4x+4y²=0，
配方可得，（x-2）²+4y²=4，
令x-2=2cosα，y=sinα，
即x=2+2cosα，y=sinα，0≤α＜2π，
则x²+y²=（2+2cosα）²+sin²α
=4+8cosα+4cos²α+sin²α
=3cos²α+8cosα+5
=3（cosα+$\frac{4}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，
由-1≤cosα≤1，可得cosα=-1时，取得最小值0；
cosα=1时，取得最大值16．
故答案为：16．

点评 本题考查给定条件下的最值的求法，注意运用配方和三角换元法，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．