Question

已知数列{x_n}满足x₁=4，xn+1=

x 2 n -3

2xn-4

．
（Ⅰ）求证：x_n＞3；
（Ⅱ）求证：x_n+1＜x_n；
（Ⅲ）求数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）结合题设条件，利用数学归纳法进行证明．
（Ⅱ）xn+1-xn=

x 2 n -3

2xn-4

-xn=

- x 2 n +4xn-3

2xn-4

=

-(xn-1)(xn-3)

2xn-4

．由x_n＞3，知x_n+1＜x_n．
（Ⅲ）xn+1-1=

x 2 n -3

2xn-4

-1=

(xn-1)2

2xn-4

，xn+1-3=

x 2 n -3

2xn-4

-3=

(xn-3)2

2xn-4

，由题题条件能导出a_n=2^n-1．由an=log3

xn-1

xn-3

，得

xn-1

xn-3

=3an．从而得到xn=

3an+1-1

3an-1

=

32n-1+1-1

32n-1-1

．

解答：解：
（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明
①当n=1时，x₁=4＞3．所以结论成立．
②假设n=k（n≥1）时结论成立，即x_n＞3，则xn+1-3=

x 2 n -3

2xn-4

-3=

(xn-3)2

2xn-4

＞0．
所以x_n+1＞3．
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知对任意的正整数n，都有x_n＞3．（4分）
（Ⅱ）证明：xn+1-xn=

x 2 n -3

2xn-4

-xn=

- x 2 n +4xn-3

2xn-4

=

-(xn-1)(xn-3)

2xn-4

．
因为x_n＞3，所以

-(xn-1)(xn-3)

2xn-4

＜0，即x_n+1-x_n＜0．
所以x_n+1＜x_n．（9分）
（Ⅲ）解：xn+1-1=

x 2 n -3

2xn-4

-1=

(xn-1)2

2xn-4

，xn+1-3=

x 2 n -3

2xn-4

-3=

(xn-3)2

2xn-4

，
所以

xn+1-1

xn+1-3

=(

xn-1

xn-3

)2．
又

x1-1

x1-3

=

4-1

4-3

=3，
所以log3

xn+1-1

xn+1-3

=2log3

xn-1

xn-3

．（11分）
又log3

x1-1

x1-3

=1，
令an=log3

xn-1

xn-3

，则数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以a_n=2^n-1．
由an=log3

xn-1

xn-3

，得

xn-1

xn-3

=3an．
所以xn=

3an+1-1

3an-1

=

32n-1+1-1

32n-1-1

．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意数学归纳法的证明过程．