Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，E，F分别是AC，AB的中点，
（1）若∠C=60°，b=1，c=3，求△ABC的面积；   
（2）若3AB=2AC，$\frac{BE}{CF}$＜t恒成立，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，代入解得a．可得S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$．
（2）令AC=6m，AB=4m，则AE=3m，AF=2m．在△ABE中，BE²=16m²+9m²-24m²cosA．
在△ACF中，CF²=40m²-24m²cosA．可得$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{25-24cosA}{40-24cosA}$=1-$\frac{15}{40-24cosA}$．即可得出．

解答 解：（1）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，∴3²=a²+1²-2acos60°，
化为：a²-a-8=0，解得a=$\frac{1+\sqrt{33}}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\frac{1+\sqrt{33}}{2}×1×sin6{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{11}}{8}$．
（2）令AC=6m，AB=4m，则AE=3m，AF=2m．
在△ABE中，BE²=AB²+AE²-2AB•AEcosA=16m²+9m²-24m²cosA．
在△ACF中，CF²=AC²+AF²-2AC•AFcosA=40m²-24m²cosA．
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{25-24cosA}{40-24cosA}$=1-$\frac{15}{40-24cosA}$．
∵-1＜cosA＜1，∴16＜40-24cosA＜64，
∴t≥$\frac{7}{8}$．∴t_min=$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．