Question

15．对任意的正整数n，2ⁿ与n²的大小关系为（　　）

• A． 当n＞2时，22ⁿ＞n²
• B． 当n＞3时，2ⁿ＞n²
• C． 当n＞4时，2ⁿ＞n²
• D． 当n＞5时，2ⁿ＞n²

Answer 1

分析 从n=1开始逐个验证，得出一般规律，猜想当n≥5时，n²＜2ⁿ，下面用数学归纳法证明即可．

解答 解：当n=1时，n²＜2ⁿ；           
当n=2时，n²=2ⁿ；               
当n=3时，n²＞2ⁿ；             
当n=4时，n²=2ⁿ；            
当n=5时，n²＜2ⁿ； 当n=6时，n²＜2ⁿ；
猜想：当n≥5时，n²＜2ⁿ
下面下面用数学归纳法证明：
（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立  
（2）假设n=k（k≥5）时猜想成立，即2^k＞k²
则2•2^k＞2k²，
∵2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2
当k≥5时（k-1）²-2＞0，
∴2k²＞（k+1）²
从而2^k+1＞（k+1）²
所以当n=k+1时，猜想也成立     
综合（1）（2），对n∈N^*猜想都成立，
故选：D．

点评 本题考查数学归纳法证明与正整数有关的命题，熟练应用数学归纳法的步骤是解决问题的关键，属中档题．