Question

20．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-（{2a+1}）x+2lnx$．
（1）若函数y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（2）若a＞0，求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，再根据导数的几何意义可得f'（1）=f'（3）求出a即可．
（2）根据函数的单调性与导数的关系可知令f'（x）＞0可得到增区间，令f'（x）＜0可得到减区间但要注意前提是x＞0．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx  （a∈R）
∴定义域为（0，+∞）
∴f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$（x＞0）．
（1）∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行
∴f'（1）=f'（3）
∴a=$\frac{2}{3}$；
（2）∵f′（x）=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$（x＞0）．
∴①当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}$＞2，在区间（0，2）和（$\frac{1}{a}$，+∞） 上，f'（x）＞0；
在区间（2，$\frac{1}{a}$） 上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和（$\frac{1}{a}$，+∞），单调递减区间是（2，$\frac{1}{a}$）．
②当a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）=$\frac{{（x-2）}^{2}}{2x}$，
故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
③当a＞$\frac{1}{2}$时，0＜$\frac{1}{a}$＜2，在区间（0，$\frac{1}{a}$） 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在区间（$\frac{1}{a}$，2）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{a}$） 和（2，+∞），单调递减区间是（$\frac{1}{a}$，2）．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属常考题，较难．解题的关键是透彻理解导数的几何意义以及导数与函数单调性之间的关系．