Question

5．数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，则a₂₀₁₇=$\frac{2}{4033}$．

Answer 1

分析 求关系式的倒数，得到新数列是等差数列，然后求解通项公式，求解即可．

解答 解：数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$，
可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=1+\frac{1}{{a}_{n}}$，所以{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，1为公差的等差数列，
所以$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+n-1$，
可得a_n=$\frac{2}{2n-1}$，
则a₂₀₁₇=$\frac{2}{4033}$．
故答案为：$\frac{2}{4033}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．