Question

15．设等比数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，若a₁=1，a₃=4．
（1）若S_k=63，求k的值；
（2）设b_n=log₂a_n，证明数列{b_n}是等差数列；
（3）设c_n=（-1）ⁿb_n，求T=|c₁|+|c₂|+|c₃|+…+|c_n|．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）a_n=2^n-1，b_n=log₂a_n=n-1，作差即可证明．
（3）c_n=（-1）ⁿb_n=（-1）ⁿ（n-1），|c_n|=n-1．再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由已知a₁=1，a₃=4，得q²=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=4．
又{a_n}的各项均为正数，∴q=2．-------------------------------------------（2分）
而S_k=$\frac{1-{2}^{k}}{1-2}$=63，∴2^k-1=63，解得k=6．-------------------------（4分）
（2）证明：a_n=2^n-1，---------------------------------------------（5分）
b_n=log₂a_n=n-1，-----（6分）
b_n-b_n-1=n-1-（n-1）+1=1．------------------------------（8分）
故数列{b_n}是公差为1，首项为0的等差数列．-------------------（9分）
（3）c_n=（-1）ⁿb_n=（-1）ⁿ（n-1）．------------------------（11分）
|c_n|=n-1．
∴T=|c₁|+|c₂|+|c₃|+…+|c_n|=0+1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$．…（14分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．